Diketahui bilangan a, b, c membentuk barisan geometri. Bilangan a, b, c-2 membentuk barisan aritmetika dan bilangan a, b+2, c+10 membentuk barisan geometri. Jumlah semua nilai yang mungkin untuk b adalah…

www.jagostat.com

www.jagostat.com

Website Belajar Matematika & Statistika

Website Belajar Matematika & Statistika

Bahas Soal Matematika   »     ›  

Diketahui bilangan \(a, b, c\) membentuk barisan geometri. Bilangan \(a, b, c-2\) membentuk barisan aritmatika dan bilangan \(a, b+2, c+10\) membentuk barisan geometri. Jumlah semua nilai yang mungkin untuk \(b\) adalah…

  1. \( \frac{14}{9} \)
  2. \( \frac{20}{9} \)
  3. \( \frac{32}{9} \)
  4. \( \frac{40}{9} \)
  5. \( \frac{80}{9} \)

(Soal SIMAK UI 2013)

Pembahasan:

Ingat bahwa untuk barisan geometri \(a, b, c\) diperoleh \(b^2=ac \cdots (1)\). Untuk barisan aritmatika \(a, b, c-2\) diperoleh \(2b=a+c-2 \cdots (2) \) dan untuk barisan geometri \(a, b+2, c+10\) diperoleh \( (b+2)^2 = a(c+10) \cdots (3) \).

Jika kita substitusi persamaan (1) dan (2) ke persamaan (3) akan diperoleh:

\begin{aligned} (b+2)^2 &= a(c+10) \\[8pt] b^2+4b+4 &= ac+10a \\[8pt] ac+2(a+c-2)+4 &= ac+10a \\[8pt] 2a+2c-4+4 &= 10a \\[8pt] a+c &= 5a \Leftrightarrow c = 4a \cdots \text{pers.} (4) \\[8pt] 2b &= a+c-2 \\[8pt] 2b &= a+4a-2 \\[8pt] 2b+2 &= 5a \\[8pt] a &= \frac{2b+2}{5} \Leftrightarrow \cdots \text{pers.} (5) \end{aligned}

Kemudian, jika pers (4) dan (5) disubstitusikan ke pers (1), maka diperoleh:

\begin{aligned} b^2 = ac \Leftrightarrow b^2 &= a (4a) \\[8pt] b^2 = 4a^2 \Leftrightarrow b^2 &= 4 \left( \frac{2b+2}{5} \right)^2 \\[8pt] b^2 &= 4 \left( \frac{4b^2+8b+4}{25} \right) \\[8pt] 25b^2 &= 16b^2+32b+16 \\[8pt] 9b^2-32b-16 &= 0 \end{aligned}

Berdasarkan rumus jumlah persamaan kuadrat, maka jumlah semua nilai \(b\) yang mungkin adalah \( b_1+b_2 = - \frac{-32}{9} = \frac{32}{9} \).

Jawaban C.